Estadígrafos de dispersión.
I.
Objetivos de la sesión: que el alumno aprenda
a calcular e interpretar los diferentes estadígrafos de dispersión.
1. Estadígrafos
de dispersión.
La
idea de dispersión se relaciona con la mayor o menor
concentración de los datos en torno a
un valor central, generalmente la media
aritmética.
1.1 Varianza:
Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones. Se denota por S2. Este valor cuantifica el grado de dispersión o separación de los valores
de la distribución con respecto a la media aritmética. A mayor dispersión mayor valor de la
varianza, a menor dispersión menor valor de la
varianza.
- Datos
no tabulados: tomamos como ejemplo los siguientes datos.
5, 8, 6, 7, 5, 6, 5
en primer lugar, se debe calcular el
promedio aritmético: X = 5 + 8
+...5 ) /7= 42 / 7= 6
La fórmula para calcular la varianza
es
S2 = (5 – 6)2 + (8 – 6)2 + (6 – 6)2 +... + (5 – 6)2
7
S2 =
1 + 4 + 0+... + 1 = 8 = 1,14
7 7
se puede calcular la varianza por una fórmula mas reducida que la anterior:
å Xi
S 2 = i=1 -
X 2
n
n ejemplo:
|
S ² = 266 - (6)² =2,0
-
Datos tabulados: en los de tener los datos en una tabla de frecuencia, el calculo de la varianza se hace a través de la
siguiente fórmula.
Para el ejemplo se usara la tabla 2, que se vuelve a repetir en este capitulo:
Intervalos Yi-1 – Yi+1
|
Yi
|
fi
|
Yi2
|
Y 2 · f
i i
|
[60 – 70)
|
65
|
3
|
4225
|
12675
|
[70 – 80)
|
75
|
5
|
5625
|
28125
|
[80 – 90)
|
85
|
7
|
7225
|
50575
|
[90 – 100)
|
95
|
11
|
9025
|
99275
|
[100 – 110)
|
105
|
8
|
11025
|
88200
|
[110 – 120)
|
115
|
6
|
13225
|
72350
|
40
|
351200
|
S² = 351200 – (93,5)2
40
S² = 8780 – 8742,25
S² = 37,75
· Propiedades de la varianza.
1)
La varianza es siempre
un valor positivo
n
S² = å (Xi – X)²=0
i = 1
2) Sea Y = a ± x, entonces V(Y) = V(a ± x) = V(x). Si a una variable
se le suma o resta una constante, la varianza permanece igual.
3) Sea Y = a·x, entonces
V(Y) = V(a·x) = a2 V(x). Si una variable se le multiplica por una constante, la varianza cambia multiplicándose por la constante
al cuadrado.
Ejemplo: 80 empleados de una compañía
tienen un sueldo promedio de $125.000 y una varianza
de $12.000. Si reciben un reajuste del 20%, calcular
la nueva varianza.
Si se realizara un reajuste del 20% la constante será 1,2
V(x · 1,2) =
(1,2)² · V(x)
= 1,44 · 12.000
= $17.280
2.2 Desviación estándar:
Se designa la varianza por la letra S y se define como la raíz de la varianza.
En el ejemplo de la
tabla 2 la desviación estándar es S = √254 = 14,28
La desviación estándar es mas usada
que la varianza. Una de sus utilidades es medir la concentración de los datos
respecto a la media aritmética.
Para
distribuciones normales:
- el 68,27% de los datos están comprendidos en el rango
- el 95,45% de los datos están comprendidos en el rango
- el 99,73% de los datos están comprendidos en el rango
2.3 Coeficiente de variación:
Las medidas de
dispersión que se han estudiado anteriormente son medidas absolutas
y se expresan en las mismas unidades con las que se mide la variable.
Si se necesita comparar
dos o más grupos de datos medidos
con diferentes unidades,
por lo general, no es posible la comparación utilizando la dispersión absoluta. Por ejemplo, una serie de precios en dolares con una serie de precios en pesos.
Para estos casos se usa la dispersión
relativa:
Dispersión relativa = dispersión absoluta
Media
Si en el caso particular de usar la desviación estándar
(S) como dispersión absoluta y la media aritmética ( X ), recibe el nombre de coeficiente de variación:
Ejemplo: Supongamos
que un grupo de profesionales de una empresa
A tienen un sueldo promedio
de $500.000 y una varianza
de $12.000. En otra empresa, B, otro grupo de profesionales
tienen un sueldo de $600.000 y una desviación de $18.000.
CA = 12.000 · 100 =
2,4
500.000
CA = 18.000 ·
100 = 3,0 presenta mayor dispersión
600.000
Ejemplo: Un curso dio un examen de estadísticas y otro un examen de álgebra con los siguientes resultados:
Estadística Algebra
X = 78
S = 8,0 S = 7,6
S = 8,0 S = 7,6
¿ Qué curso tuvo mayor dispersión?
COEF (estadística) = 8 = 0,1025
78
COEF (á lg ebra) = 7,6 = 0,1041
73
El curso que dio el examen de álgebra tuvo mayor dispersión.
2.4 Desviación media.
La desviación media es una medida de dispersión bastante objetiva, es decir mientras mas dispersos están los datos mayor es la desviación media, pero no muestra
si están bajo X ,
ya que tomamos su valor absoluto.
En el ejemplo para la tabla 2 el calculo de DM es el siguiente, sabiendo
que
X
= 93,5
Intervalos Yi-1 – Yi+1
|
Marca de clase
Y1
|
Frec. Absoluta fi
|
X
i - X
|
X i - X
× fi
|
[60 – 70) |
3 |
28,5 |
85,5 |
|
[70 – 80)
|
75
|
5
|
18,5
|
92,5
|
[80 – 90)
|
85
|
7
|
8,5
|
59,5
|
[90 – 100)
|
95
|
10
|
1,5
|
15,0
|
[100 – 110)
|
105
|
9
|
11,5
|
103,5
|
[110 – 120)
|
115
|
6
|
21,5
|
129,0
|
Total
|
40
|
485
|
DM
= 485 = 12,125
40
2.5 Variable normalizada o estandarizada.
A diferencia del
coeficiente de variación, que compara dos grupos, esta variable sirve para comparar
un individuo dentro de su mismo grupo. Su fórmula es:
Z =
Xi - X
Ejemplo: Un curso dio un examen de estadísticas y otro un examen de álgebra con los siguientes resultados:
Estadística Algebra
X = 78 X = 73
S = 8.0 S = 7,6
S = 8.0 S = 7,6
Z (estadístics)
= 75 - 78 = -0,375
8
Z (á lg
ebra) = 71 - 73 = -0,263
7,6
En álgebra el alumno tuvo menor dispersión respecto al promedio del curso
III.
Actividad previa: leer
textos indicados en bibliografía, referentes al tema.
IV.
Actividad post sesión: realizar la guía de ejercicios que a continuación se presenta.
Ejercicios.
1.
Supongamos que un grupo
de profesionales en un país A tienen
un salario promedio
de US$26.888 y varianza US$14.400. En un país B otro grupo de profesionales con iguales características reciben un salario
promedio de US$8.570 con desviación estándar de
US$80. ¿Cuál grupo
de salarios presenta una menor variabilidad?.
2. En un inventario realizado en la bodega de un almacén
se encontraron 200 artículos
que fueron importados a diferentes precios (en
dólares)
Xi
|
fi
|
20,5
|
20
|
32,0
|
30
|
48,6
|
50
|
50,0
|
60
|
60,4
|
40
|
200
|
a) Calcular
la desviación estándar.
b) Calcular
le desviación media.
c) Calcular
coeficiente de variación.
3.
En el primer semestre
de este año 30 empresas
tuvieron en promedio
$374 millones en gastos con una varianza
de $80 millones. Por un error cada una de las empresas
no contabilizó $7 millones en los gastos.
Corregir el promedio
y la varianza.
4. 80 empleados de una compañía
tiene un salario
promedio de $125.000
y una varianza $12.000. Si reciben un reajuste del 20%. Calcular el nuevo promedio y varianza.
5. Se administra un antibiótico al ganado para combatir cierta
enfermedad, el peso (en gramos)
del antibiótico depende del peso del animal, el cual debe ser medido con mucha precisión, puesto que una sobredosis puede ser perjudicial para el animal.
A continuación se muestra la distribución de frecuencia del peso
de las dosis.
Peso (gramos)
|
fi
|
15 – 20
|
7
|
20 – 25
|
25
|
25 – 30
|
31
|
30 – 35
|
20
|
35 – 40
|
11
|
a) Calcular los estadígrafos de posición y
dispersión que le parezcan adecuados (no todos), explique su decisión.
b) Investigadores afirman que una dosis con peso mayor o igual a 30 gr. sería peligroso. Según
la información de que dispone,
¿qué porcentaje de la dosis se clasifica como peligrosa?.
c)
Construya histograma y
polígono de frecuencias asociado a los datos.
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